回到基础——理解几何旋转与欧拉角

在机器人学习中，几何旋转可以说是其中的难点之一。提到旋转，就不能不提到欧拉角表达方式（也会涉及到其他的表达方式例如四元数），在这里，我们希望这篇基础知识能帮你更好地理解空间旋转。

机器人几何旋转！

我们都知道，在三维空间里，要表达位置可以使用坐标[X, Y, Z]，坐标的三个数值基于一个原点的位置。如果要表达方向的话，就要用到旋转。当你需要为机器人末端执行器的位置跟方向编程的时候，你会明白旋转不是那么容易理解。

或许你觉得，我只需要移动机器人末端到这个位置，并指向那个方向就可以了啊。在实际操作中我们可以很容易地指出那个方向。然而，当你需要使用精确的数字来描述方向的时候，这个任务就复杂了。

在表达位移的时候，我们只需要[X, Y, Z]坐标就可以了。

比如 [X, Y, Z] = [100, 1000, 1500] mm 是代表空间内唯一的一个点，它在X方向距离原点100mm，Y方向1000mm，而Z方向是1500mm。以上三个数字是这个点的唯一描述，要想到达这个点的位置，你可以先从原点沿着Z轴移动1500mm，然后在Y轴移动1000mm，最后在X轴移动100mm，调换三个平移运动的顺序并不会改变这个点的坐标值。

但是，在表达方向的时候，就不是这样了。

你可以做这个旋转：[XYZ] = [5, 45, 15]^o
或者，旋转：[XY’Z”] = [-7.9, 44.7, 16.2]^o
再或者，旋转：[ZY’Z”] = [7.9, 45.2, 5]^o
甚至，以四元数的方式：[q1, q2, q3, q4] = [0.9, -0.1, 0.4, 0.1]

而以上不同的几组数字，表达的是同一个方向！

这非常难以理解，因为我们的大脑无法很好地想象出物体在3D空间里旋转的样子。而那么多的机器人生产商，都各自选择使用不同的方式来定义它们的机器人旋转！这可能会让人感到头疼，就算你已经对3D几何很熟悉了。

机器人需要准确的指令，控制它的运动方位。这就是引入欧拉角几何法的原因，因为我们不能很好地想象“旋转”。

什么是欧拉角？

让我们从基础开始介绍，它是最常见的机器人“方向”的表达。欧拉角由三个数字组成，每个数字代表环绕一个坐标轴旋转的角度。欧拉角也有不同的写法跟表达方式。

让我们从一个坐标轴开始，想象一个指南针，它的针头就相当于围绕着Z坐标轴旋转（一般来说，在世界空间中Z坐标为与地面垂直的轴，并指向天）。我们把指南针平放在手上观察它指向的角度，这代表着以北方为零度，你目前的方向角。不论你把指南针放在哪里（地上或者桌子上），它指向的角度都是一样的。我们的指南针只有一个旋转自由度，即围绕Z轴旋转。当你引入另外两个旋转时，情况就有些复杂了。

另外，我们提到的四元数方向表示法，则更加让人难以用脑子想象。

使用软件工具帮助理解

现在，我建议你下载免费的RoboDK软件试用版，你可以使用它更好地理解旋转，观察坐标系，以及它旋转后的效果。

打开RoboDK软件，添加一个“参考坐标系”。你可以看到一个由红绿蓝三色组成的坐标出现在屏幕中间（约定俗成的规则是，电脑中的RGB，即红绿蓝三原色，各代表X, Y, Z这三个坐标轴）。你可以按下Alt按键，用鼠标拖动弧形的红、绿、蓝色圆弧箭头来旋转这个坐标。

如何“飞行”

让我们拿飞机做个比方，想象你刚添加的坐标系是一架飞机。红色的X轴是它的机头，绿色的Y轴是它的机翼。此时，使用圆弧箭头旋转坐标系可以实现以下的功能。

移动红色圆弧箭头，围绕X轴旋转，即相当于翻滚机身（Roll）。
移动绿色圆弧箭头，围绕Y轴旋转，即相当于机身俯仰（Pitch）。
移动蓝色圆弧箭头，围绕Z轴旋转，即决定飞机头指向的方向，又叫偏航（Yaw）。

如果你需要让飞机既向它的左前方、又朝着地面方向飞行的话，正确的做法不是仅仅旋转偏航（Z轴）与俯仰（Y轴）两个角度，而应当是渐渐地调整可旋转的三个角度，保证飞机能缓和地降落。

使用鼠标拖动，试验一下首先压低俯仰角（围绕Y轴旋转），再向左翻滚（围绕X轴旋转），最后向左偏航（围绕Z轴旋转）。这三个旋转叠加起来可以表达为旋转：[YXZ]。试着来回移动几次，熟悉互相叠加的旋转角度。双击这个参考坐标系，可以查看坐标系详情。

一个方向，多种表达！

使用RoboDK，完成下面的任务。在每个任务之前，重置坐标系——在坐标详情菜单中，点击最右边显示为三条平行线的按钮，然后选择“重设“。

在坐标系详情菜单中点击下拉菜单，选择Staubli (deg) 旋转表达方式。
重置坐标系，让坐标系围绕Y轴旋转180度。你会发现此时Z轴跟X轴都反向了。
重置坐标系，达到同样的旋转。但是先使用一个Z轴旋转，再进行X轴旋转。
重置坐标系，达到同样的旋转。但是先使用一个X轴旋转，再进行Z轴旋转。

你已经发现了，需要达到同样的旋转效果，可以通过不同的方式。

第一种方式我们可以称它为围绕Y轴的旋转：[Y]，第二种是旋转：[Z, X’]，第三种是旋转：[X, Z’]。这个 ‘ 上标表达的是该旋转是以上一次旋转为参考，而不是以绝对（世界）坐标系为参考。

这就是欧拉角背后的基本概念。你可以使用不同的方式得到同一个旋转——通过不同的转轴或者不同的旋转顺序。

不同的机器人生产商选择了不同的方式定义旋转。比如，史陶比（Staubli）使用的是XY’Z”，爱得普（Adept）使用ZY’Z”，库卡（KUKA）使用ZY’X”而发那科（Fanuc）与安川（Motoman）则使用XYZ。另外，ABB机器人使用四元数表达旋转，而优傲（UR）机器人使用方向矢量。以上这些定义都可以用于表达几何空间中的任何旋转。